Вхід  Портал ОБ  Навчальні матеріали  Курс з математики






Геометрія 10-й клас
Стереометрія
Декартові координати та вектори в просторі

Функції

Функціональною відповідністю, або функцією, називають таку відповідність між двома змінними, коли кожному значенню однієї змінної відповідає одне значення другої змінної.
Першу змінну називають незалежною, або аргументом функції, а другу — залежною, або функцією від першої змінної. Усі значення, які приймає незалежна змінна, утворюють область визначення ­функції.
Записують: y=f(x),
, де x — аргумент, y — функція. Область визначення позначають або .
Приклади
1) ; — множина всіх дійсних чисел, крім 3.
2) ; — множина всіх дійсних чисел, що не перевищують 2, тому що підкореневий вираз має бути невід’ємний.
Графіком функції називається множина всіх точок координатної площини, абсциси яких дорівнюють значенням аргументу, а ординати — відповідним значенням функції.

Приклади функцій і їх графіків

Лінійна функція

Лінійною називається функція, яку можна задати формулою , де х — аргумент, а k і b — дані числа.
Графік лінійної функції — пряма. k називається кутовим коефіцієнтом прямої, яка є графіком лінійної функції. Кожна пряма на координатній площині, яка не є перпендикулярною до осі абсцис,— графік деякої лінійної функції.
Через дві точки можна провести одну й тільки одну пряму, тому для побудови графіка лінійної функції досить знати координати двох його точок (дуже добре, якщо це будуть точки перетину графіка з осями). Точка перетину графіка з віссю абсцис має ординату 0, а точка перетину графіка з віссю ординат має абсцису 0.
Приклад
Побудуйте графік функції .
, ; , , , .

x

0

1,5

y

-3

0


Побудуємо графік (див. рисунок).

Якщо в лінійній функції , то графік функції перетинає вісь абсцис;
якщо , , то графік функції — пряма, паралельна осі абсцис;
якщо , , графік функції збігається з віссю абсцис.
Графіки двох лінійних функцій перетинаються, якщо їх кутові коефіцієнти різні, і паралельні, якщо їх кутові коефіцієнти ­однакові.
Можна знайти координати точки перетину прямих, не виконуючи побудови графіків функцій. Так, якщо прямі задані рівняннями і , то досить розв’язати систему рівнянь:

Лінійну функцію, що задається формулою , де , називають прямою пропор­ційністю.
Графік прямої пропорційності — пряма, що проходить через початок координат. Якщо , графік лежить у I і III координатних чвертях, а якщо — то у II і IV координатних чвертях.
Приклади
1) , , .
2) , , .
Побудуємо в одній системі координат графіки функцій і
Якщо в лінійній функції (див. рисунок).

Обернена пропорційність

Функцію, задану формулою y=k/x, де х — незалежна змінна, k≠0 — дане число, називають оберненою пропорційністю.
Область визначення функції y=k/x — множина всіх чисел, крім 0.
Графік функції y=k/x, ( k≠0) — гіпербола, симетрична відносно початку координат. Коли k>0, гілки такої гіперболи розміщені в I і III координатних кутах, коли k<0 — у II і IV.
Як приклад побудуємо графік функції y=12/x. Заповнимо таблицю (значення x зада­ємо, y — обчислюємо за формулою y=12/x:

x

±0,5

±1

±2

±3

±6

±12

±24

y

±24

±12

±6

±4

±2

±1

±0,5


Нанесемо отримані точки на координатну площину. Сполучивши ці точки плавною лінією, отримаємо графік (див. рисунок):

Зверніть увагу на поводження графіка поблизу осей координат. Графік до них нескінченно наближається, але не перетинає. Дійсно, x=0 не входить до області визначення, отже точки перетину з віссю Oy немає. k/x≠0 ні при якому значенні х, значить, якщо x≠0, точки перетину з віссю Ox немає.

Функція y=x2

Заповнимо таблицю (значення x задаємо, y — обчислюємо за формулою y = x2).

x

0

±0,5

±1

±2

±3

y

0

0,25

1

4

9


Нанесемо знайдені точки на координатну площину. Сполучивши ці точки, отримаємо графік функції y=x2 (див. рисунок нижче).
Область визначення цієї функції — множина всіх дійсних чисел.

y(0)=0. Графік проходить через початок координат O(0;0).

y(x)≥0 при всіх значеннях х. Усі точки графіка розташовані не нижче осі Оx.
Протилежним значенням аргументу відповідають рівні значення функції, тобто графік симетричний відносно осі ординат.

Функція y=√x

Область визначення — множина всіх невід’ємних дійсних чисел.
Графік — одна гілка параболи, яка роз­ташована в I координатному куті (див. рисунок).

Розв’язування рівнянь графічним способом

За допомогою графіків функцій можна розв’язувати рівняння графічним способом. Для цього треба побудувати в одній системі координат графіки обох частин рівняння й знайти абсциси точок їх перетину.
Приклад. Розв’яжіть рівняння x2=√x
Побудуємо графіки функції y=x2 та y=√x в одній координатної системі (див. рисунок) і знайдемо абсциси точок їх перетину.

Відповідь: x1=0, x2=1 .